Лекции по динамике машин

 

 

Главная

Раздел 6. Свободные колебания систем с распределёнными  параметрами

 

Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы.

 

6.1. Продольные колебания стержней

При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении.

 

Рис. 67

 

Пусть u - продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение зависит от расположения сечения (координаты x) и от времени t. Таким образом, есть функция двух переменных; её определение и представляет основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно , следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого элемента  равно  (рис.67,б), а относительное его удлинение .

Соответственно продольная сила в сечении с координатой х может быть записана в виде

,                                      (173)

где  жёсткость стержня при растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов – координаты х и времени t.

Рассмотрим элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями (рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила . Если обозначить через  плотность материала стержня, то масса рассматриваемого элемента составляет . Поэтому уравнение движения в проекции на ось х

,

или

.                                                 (174)

Учитывая  (173)  и  принимая A = const , получим

,                                                 (175)

где

.                                                   (176)

Следуя методу Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде

,                                             (177)

т.е. предположим, что перемещение u можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х, а другая только от аргумента t. Тогда вместо определения функции двух переменных u (x, t) необходимо определять две функции X(x) и T(t), каждая из которых зависит только от одной переменной.

 Подставив (177) в (174), получим

,

где штрихами обозначена операция дифференцирования по x, а точками – по t. Перепишем это уравнение таким образом:

.

Здесь левая часть зависит только от x,а правая – только от t. Для тождественного выполнения этого равенства (при любых x и t) необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим через :  

; .                                            (178)

Отсюда следуют два уравнения:

;.                                     (179)

Первое уравнение имеет решение:

,                                                              (180)

указывающее на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина  имеет смысл частоты свободных колебаний.

Второе из уравнений (179) имеет решение:

,                                          (181)

определяющее форму колебаний.

Частотное уравнение, определяющее величину , составляется путём использования граничных условий. Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты  соответствует своя функция Tn(t), определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn(x), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается путём наложения всех частных решений:

.

Функции Xn(x) называются собственными функциями задачи и описывают собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const имеет вид

, если .

Рассмотрим некоторые варианты граничных условий.

Закреплённый  конец стержня (рис.68,а). В концевом сечении перемещение u должно быть равно нулю; отсюда следует, что в этом сечении

X=0                                                                   (182)

Свободный конец стержня (рис.68,б). В концевом сечении продольная сила

                                             (183)

должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X'=0.

 Упругозакреплённый конец стержня (рис.68,в).

При перемещении u концевого стержня возникает упругая реакция опоры , где Со - жёсткость опоры. Учитывая (183) для продольной силы, получим граничное условие

,

если  опора расположена на левом конце стержня (рис.68,в),  и

,

если опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).

 

Рис. 68

 

Сосредоточенная масса  на конце стержня.

Развиваемая массой сила инерции:

.

Так как, согласно первому из уравнений (179), , то сила инерции может быть записана в виде . Получаем граничное условие

,

если масса находится на левом конце (рис.68,д),  и

,                                        (184)

если масса связана с правым концом (рис.68,е).

Определим собственные частоты консольного стержня (рис.68,a').

Согласно (182) и (183), граничные условия

X=0  при х=0;

X'=0 при х=.

Подставляя поочерёдно эти условия в решение (181), получим

D=0; .

Условие С0 приводит к частотному уравнению:

.

Корни этого уравнения

        (n=1,2,…)

 определяют собственные частоты:

          (n=1,2,…).                                      (185)

Первая (низшая) частота при n=1:

 .

Вторая частота (при n=2):

    и т. д.

Определим собственные частоты стержня с массой  на конце (рис.68,е).

Согласно (182) и (184),  имеем

X=0 при х=0;

 при х=.

Подставляя эти условия в решение (181), получим:

D=0; .

Следовательно, частотное уравнение при учёте  (176) имеет вид

.

Здесь правая  часть представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза.

Для решения полученного трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым способом.

При  и  значения наиболее важного низшего корня  будут соответственно 0.32 и 0.65 .

При малом отношении  решающее влияние оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение

.

Для стержней переменного сечения, т.е. при Аconst, из (173) и (174) получается уравнение движения в виде

.

Это дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения собственных частот.

 

6.2. Крутильные колебания валов

Крутильные колебания вала  с непрерывно распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний стержней.

Рис. 69

 

Крутящий момент  М  в сечении с абсциссой х связан с углом поворота  дифференциальной зависимостью, аналогичной (173):

,                                              (186)

где Jp-полярный момент инерции поперечного сечения.

В сечении, расположенном на расстоянии dx, крутящий момент равен (рис.69,б):   

.

Обозначая через  (где  - плотность материала вала) интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно записать так:  

,

или подобно (174):

.

 Подставляя сюда выражение (186), при  Jp=const получим, аналогично (175):

,                                            (187)

где

.

Общее решение уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид

,

где

                            (188)

Собственные частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными условиями.

В основных случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим

а) закрепленный конец (=0): Х=0;

б) свободный конец (М=0): Х'=0;

в) упругозакрепленный левый конец: СоХ=GJpX' (Со-коэффициент жёсткости);

г) упругозакрепленный правый конец: -СоХ=GJpX';

д) диск на левом конце:  (Jo-момент инерции диска относительно оси стержня);

е) диск на правом конце: .

Если вал закреплён на левом конце (х=0), а правый конец (х=) свободен, то Х=0 при х=0 и Х'=0 при x=; собственные частоты определяются аналогично (185):

    (n=1,2,…).

Если левый конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное уравнение:

.

Если оба конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х=. В этом случае из (188) получим

;  D=0,

т.е.

      (n=1,2,…),

отсюда находим собственные частоты:

.

Если левый конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X'=0 при х=0 ;  JoX=GJpX'  при х=.

При помощи (188) находим

С=0; ,

или трансцендентное частотное уравнение:

.


6.3.Изгибные колебания балок

 

6.3.1.Основное уравнение

Из курса сопротивления материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок:

;                                                   (189)

,                                                             (190)

где EJ - жёсткость при изгибе; y=y(x, t) - прогиб; M=M(x , t) - изгибающий момент; q - интенсивность распределённой нагрузки.

Объединяя (189) и (190), получим

.                                          (191)

В задаче о свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые силы инерции:

,

где m - интенсивность массы балки (масса единицы длины), и уравнение (191) принимает вид

.

В частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const, m = const, имеем:

.                                           (192)

Для решения уравнения (192) полагаем, как и выше,

y = X (x)× T (t).                                                         (193)

Подставляя (193) в (192), приходим к уравнению:

.

Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения:

;                                                            (194)

.                                              (195)

Первое уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой .

Второе уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре постоянных и имеет вид

,

где

.                                                                    (196)

Удобно использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым:

,                                      (197)

где

                                         (198)

представляют собой функции А.Н.Крылова.

Обратим внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой следующим образом:

                                                  (199)

Поэтому производные выражения (197) записываются в виде

                                (200)

В задачах рассматриваемого класса число собственных частот  бесконечно велико; каждой из них отвечает своя функция времени Tn и своя фундаментальная функция Xn. Общее решение получится путём наложения частных решений вида (193)

.                                             (201)

Для определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные условия.

 

6.3.2. Граничные условия

Для каждого конца стержня можно указать два граничных условия.

Свободный конец стержня (рис. 70,а). Нулю равны поперечная сила Q=EJX'''T и изгибающий момент M=EJX''T. Поэтому граничные условия имеют вид

X''=0; X'''=0 .                                      (202)

Рис. 70

 

Шарнирно-опёртый конец стержня (рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT и изгибающий момент M=EJX''T. Следовательно, граничные условия  таковы:

X=0 ; X''=0 .                                            (203)

Защемленный конец (рис.70,в). Нулю равны прогиб y=XT и угол поворота . Граничные условия:

X=0; X'=0 .                                                (204)

На конце стержня имеется точечный груз массы  (рис.70,г). Его сила инерции  может быть при помощи уравнения (194) записана так: ; она должна быть равна поперечной силе  Q=EJX'''T , поэтому граничные условия принимают вид

; X''=0 .                                        (205)

В первом условии знак плюс принимается в случае, когда точечный  груз связан с левым концом стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие вытекает из отсутствия изгибающего момента .

Упруго-опертый конец стержня (рис.70,д). Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX'''T равна реакции опоры  (Co-коэффициент жёсткости опоры).

Граничные условия:

X''=0 ;                                     (206)

(знак минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс, когда она является правой).

 

6.3.3. Частотное уравнение и собственные формы

Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C1, C2, C3, C4.

Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C1, C2, C3, C4, т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).

Проследим составление частотных уравнений на примерах.

Для балки с шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия: X=0; X''=0 при x=0 и x=. При помощи  (197)-(200) получим из первых двух условий: C1=C3=0. Два оставшихся условия можно записать в виде

Чтобы C2 и C4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:

.

Таким образом, частотное уравнение имеет вид

.

Подставляя выражения T и U, получим

.

Так как , то окончательно частотное уравнение записывается так:

.                                               (207)

Корни этого уравнения:

,   (n=1,2,3,...).

Учитывая (196), получим

.                                  (208)

Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношение  между постоянными C2 и C4:

.

Следовательно, (197) приобретает вид

или

Согласно (207), имеем

,                                                (209)

где  - новая постоянная, значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение начальные условия.

 

6.3.4. Определение движения по начальным условиям

Если требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные скорости:

                                 (210)

и использовать свойство ортогональности собственных форм:

    .

Общее решение (201) запишем так:

.                           (211)

Скорость определяется выражением

   .                                      (212)

Подставляя в правые части уравнений (211) и (212) , а в левые части - предполагаемые известными начальные смещения и скорости, получим

         .

Умножая эти выражения на  и интегрируя по всей длине, имеем

                          (213)

Бесконечные суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213) следуют формулы для постоянных и

                                      (214)

Теперь эти результаты нужно подставить в решение (211).

Снова подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например, в выражении собственной формы (209) принять вместо  величину в раз большую, то (214) дадут результаты в раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений (214) равнялись единице, что упрощает выражения  и .


6.3.5. Влияние постоянной продольной силы

Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N, величина которой не меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается положительной)

.

Полагая  и считая жёсткость постоянной, получаем уравнение свободных колебаний

.                                 (215)

Принимаем по-прежнему частное решение в виде  .

 Тогда уравнение (215) распадается на два уравнения:

Первое уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом:

                                       (216)

где K определяется формулой (196), а

.                                                                        (217)

Решение уравнения (216) имеет вид

где

Рассмотрим случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце  дают . Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим

Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах  и , приходим к уравнению

,

или

.                                                  (218)

Корни этого частотного уравнения:

    .

Следовательно, собственная частота определится из уравнения

.

Отсюда при учёте (217) находим

.                                   (219)

При растяжении  частота увеличивается, при сжатии  уменьшается. Когда сжимающая сила N приближается к критическому значению, корень стремится к нулю.

 

6.3.6. Влияние цепных усилий

Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.

Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией , то удлинение оси можно найти по формуле

.

Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука

.

Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N (с учётом знака)

.                           (220)

Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение упрощается при помощи подстановки

,                                                                               (221)

где безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице; амплитуда колебаний.

Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

,                                                                       (222)

коэффициенты которого имеют следующие значения:

;    .

Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Точное решение для  частоты поперечных колебаний  имеет вид

,

где частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных усилий; поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний  к радиусу инерции поперечного сечения ; величина  приводится в справочной литературе.

При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то , и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного смещения опор.

Случай  соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе мала - струна. При этом формула для  даёт неопределённость. Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны

.

Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.

При этом формула для частоты имеет вид

,

где N - постоянная растягивающая сила.

 

6.4. Влияние вязкого трения

Ранее предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует. Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношениями

;   .                               (223)

Пусть стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде

.                     (224)

Из уравнения движения элемента стержня было получено соотношение (174)

.

Подставляя сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению

,                                     (225)

которое отличается от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения.

Следуя методу Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде

,                                          (226)

где функция только координаты x, а функция только времени t.

При этом каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма - также и начальным условиям. Подставляя  (226)  в  (225)  и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r, получим

,                                  (227)

где штрихи обозначают дифференцирование по координате x, а точки - дифференцирование по времени t.

Разделив (227) на произведение , приходим к равенству

,                                             (228)

левая часть, которого может зависеть только от координаты x, а правая - только от времени t. Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были равны одной и той же постоянной, которую обозначим через .

Из этого следуют уравнения

                                                 (229)

.                                     (230)

Уравнение (229) не зависит от коэффициента вязкости K и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой системы, когда . Поэтому числа  полностью совпадают с найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина  даёт лишь приближённое значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний совпадают с формами свободных незатухающих колебаний.

Теперь перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его решение имеет вид

,                                 (231)

где

;                                                                            (232)

.                           (233)

Выражение (232) определяет темп затухания, а (233) - частоту колебаний.

Таким образом, полное решение уравнения задачи

.                          (234)

Постоянные  и  всегда можно найти по заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех сечений стержня заданы следующим образом:

;    ,                            (235)

где  и - известные функции.

Тогда при , согласно (211) и (212), имеем

умножая обе части этих равенств на  и интегрируя в пределах всей длины стержня, получим

                  (236)

Соответственно условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко найти  и  для любого номера r.

Рассматривая (232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний , тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие в  (234), описывают затухающие колебания, если  есть действительное число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных значений r, пока выполняется неравенство

.                                                  (237)

При достаточно больших значениях  r  неравенство (237) нарушается и величина  становится мнимой. При этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение. Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая конечная часть суммы (234).

Все эти качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изгибных колебаний.

 

6.5. Колебания стержней переменного сечения

В тех случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения

.                                        (238)

Уравнение крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением

,                                       (239)

а уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением

.                                    (240)

Уравнения (238)-(240) при помощи однотипных подстановок ;   ;    можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции

                                                      (241)

                                                      (242)

                                           (243)

и одному однотипному уравнению для функции .

Уравнения (241)-(243) в отличие от уравнений, решённых выше, имеют переменные коэффициенты.

Замкнутую форму решений можно получить лишь в отдельных случаях, когда переменные  определены специальными зависимостями. В общем случае неизбежен переход к приближённым методам. В частности, возможен путь, основанный на сосредоточении распределённой массы в ряде точек по длине стержня, после чего система сохраняет лишь конечное число степеней свободы, равное числу точек приведения. Используются также различные варианты вариационного метода и некоторые другие приближённые методы, о которых речь пойдёт ниже.

 

6.6. Колебания круговых колец

 

6.6.1. Колебания в плоскости кольца

Рассмотрим круговой брус малой кривизны постоянного сечения с радиусом R осевой линии (рис.71,а). Будем считать груз нерастяжимым. Перемещение центра тяжести поперечного сечения, зафиксированного угловой координатой , можно разложить на радиальный и окружной компоненты - соответственно  и . Из условия нерастяжимости оси бруса следует, что перемещения  и связаны зависимостью: 

.                                                        (244)

а                                                                            б

                           

Рис. 71

 

Угол поворота поперечного сечения бруса в процессе движения определяется формулой

.                                                                        (245)

Изменение кривизны бруса  равно производной от  по дуге:

.                                              (246)

Изгибающий момент в поперечном сечении кольца:

.                                     (247)

Теперь составим уравнение движения элемента  бруса (рис.71,б).

Помимо перечисленных сил, на элемент действует также сила инерции:

,

где масса единицы длины бруса.

Проектируя приложенные к элементу силы на радиус, получим

.                                   (248)

Равенство нулю суммы проекций всех сил на направление касательной приводит к уравнению:

.                                      (249)

Уравнение моментов имеет вид

.                                                 (250)

Исключим из (248) и (249) нормальную силу N, а поперечную силу Q заменим её значением из (250):

.                         (251)

Подставляя сюда значение M из (247), получим уравнение движения в перемещениях , и, наконец, исключая один из компонентов перемещения, с помощью условия нерастяжимости (244) придём к уравнению, в которое входит единственная переменная :

.                (252)

Решение уравнения движения (252) будем искать в виде

;   .

При этом для  получается обыкновенное дифференциальное уравнение

,               (253)

.

Согласно общим правилам решения дифференциальных уравнений, следует найти общее решение уравнения (253), включающее шесть постоянных, и подчинить его граничным условиям. На каждом конце бруса должны быть равны нулю либо компоненты перемещений , либо соответствующие им внутренние силы. Равенство нулю определителя системы, выражающей граничные условия, приводит к частотному уравнению.

Для замкнутого кольца граничные условия заменяются условиями периодичности, которые выполняются, если принять

;   .                                (254)

Подставляя (254) в (253), устанавливаем, что последнее удовлетворяется тождественно, если

.                                (255)

Формула (255) определяет частоты собственных колебаний кольца в своей плоскости. Значению  соответствует нулевая частота, так как при  формулы (254) описывают смещение кольца как жёсткого тела.

 

6.6.2. Колебания, перпендикулярные плоскости кольца

В этом случае положение поперечного сечения кольца в процессе движения характеризуется смещением его центра тяжести из плоскости кольца и углом поворота сечения х4 (рис.72,а). В поперечном сечении кольца возникают изгибающие и крутящие моменты (рис.72,б), а также  поперечная сила, перпендикулярная плоскости кольца.

Рис. 72

 

Установим зависимость моментов от перемещений. Так как задача линейная, то рассмотрим сначала силовые факторы, связанные со смещением х3, а затем - с х4.

Если х3 постоянно по длине окружности, то кольцо смещается как жёсткое целое, и внутренние силы не возникнут. Если х3 изменяется в зависимости от центрального угла по линейному закону , то ось бруса превращается в винтовую линию, т.е. брус деформируется подобно витку пружины при растяжении. Известно, что в этом случае в поперечных сечениях возникает крутящий момент

,

где GJкр- крутильная жёсткость бруса.

Если при этом отлична от нуля и вторая производная , то меняется кривизна бруса и возникает изгибающий момент

,

где J1 - момент инерции сечения относительно центральной оси, лежащей в плоскости кривизны.

Найдём силовые факторы, связанные с поворотом х4. Если х4 постоянно, то происходит осесимметричный изгиб кольца, причём в его сечениях возникает изгибающий момент

.

При переменном по длине повороте х4 соседние сечения поворачиваются друг относительно друга и возникает крутящий момент

.

Суммируя силовые факторы, связанные с перемещениями х3 и х4, ,получаем

                                 (256)

Составим уравнение движения элемента Rd бруса (рис.73).

 Будем пренебрегать инерцией поворота элемента вокруг своей оси.

Рис. 73

 

Условие динамического равновесия в направлении нормали к плоскости кольца приводит к уравнению:

.                                                     (257)

Сумма моментов относительно нормали к оси элемента:

.                                     (258)

Сумма моментов относительно касательной к оси элемента:

.                                          (259)

Исключая поперечную силу из (257) и (258) и заменяя моменты в полученном уравнении и уравнении (259) их значениями (256), приходим к системе уравнений, в которую входят только перемещения х3 и х4:

            (260)

Ограничиваясь исследованием собственных колебаний замкнутого кольца, решение уравнений (260) можно представить в виде

x3 =Acoskj×coswt , x4 = Bcoskj×coswt .                                                                              (261)

Подставляя значения (261) в уравнение движения (260), получим

                          (262)

Из равенства нулю определителя этой системы получим частотное уравнение, корни которого - собственные частоты - таковы:

                                                                                      (263)

Наименьшая отличная от нуля частота соответствует k=2.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов