Главная
Раздел 6. Свободные колебания
систем с распределёнными параметрами
Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы.
6.1.
Продольные колебания стержней
При анализе продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении.
Рис. 67
Пусть u -
продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение
зависит от расположения сечения (координаты x) и от
времени t. Таким образом, 
есть функция двух переменных; её определение и представляет
основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно 
, следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого
элемента 
равно 
(рис.67,б), а
относительное его удлинение 
.
Соответственно продольная сила в сечении с координатой х может быть записана в виде
, (173)
где 
жёсткость стержня при
растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов –
координаты х
и времени t.
Рассмотрим
элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями
(рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила 
. Если обозначить через 
плотность материала стержня, то масса
рассматриваемого элемента составляет 
. Поэтому уравнение движения в проекции на ось х
,
или
.
(174)
Учитывая (173) и принимая A = const , получим
,
(175)
где
. (176)
Следуя методу Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде
,
(177)
т.е. предположим, что перемещение u можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х, а другая только от аргумента t. Тогда вместо определения функции двух переменных u (x, t) необходимо определять две функции X(x) и T(t), каждая из которых зависит только от одной переменной.
Подставив (177) в (174), получим
,
где
штрихами обозначена операция дифференцирования по x, а точками – по t. Перепишем это
уравнение таким образом:
.
Здесь левая
часть зависит только от x,а правая – только от t. Для тождественного выполнения этого равенства (при любых
x и t)
необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим
через 
:
; 
. (178)
Отсюда следуют два уравнения:
;
. (179)
Первое уравнение имеет решение:
, (180)
указывающее
на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина 
имеет смысл частоты свободных
колебаний.
Второе из уравнений (179) имеет решение:
, (181)
определяющее
форму колебаний.
Частотное
уравнение, определяющее величину , составляется путём использования граничных условий.
Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким
образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты 
соответствует своя
функция Tn(t),
определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn(x), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является
лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается
путём наложения всех частных решений:
.
Функции Xn(x) называются собственными функциями задачи и описывают собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const имеет вид
, если 
.
Рассмотрим некоторые варианты граничных условий.
Закреплённый конец стержня (рис.68,а). В концевом сечении перемещение u должно быть равно нулю; отсюда следует, что в этом сечении
X=0
(182)
Свободный конец стержня (рис.68,б). В концевом сечении продольная сила
(183)
должна тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X'=0.
Упругозакреплённый конец стержня (рис.68,в).
При
перемещении u концевого стержня возникает
упругая реакция опоры 
, где Со - жёсткость опоры. Учитывая (183)
для продольной силы, получим граничное условие
,
если опора расположена на левом конце стержня (рис.68,в), и
,
если
опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).
Рис. 68
Сосредоточенная масса 
на конце стержня.
Развиваемая массой сила инерции:
.
Так как, согласно
первому из уравнений (179), 
, то сила инерции может быть записана в виде 
. Получаем граничное условие
,
если масса находится на левом конце (рис.68,д), и
, (184)
если
масса связана с правым концом (рис.68,е).
Определим собственные частоты консольного стержня (рис.68,a').
Согласно (182) и (183), граничные условия
X=0 при х=0;
X'=0 при
х=
.
Подставляя поочерёдно эти условия в решение (181), получим
D=0; 
.
Условие С
0 приводит к частотному уравнению:
.
Корни этого уравнения
(n=1,2,…)
определяют собственные частоты:
(n=1,2,…). (185)
Первая (низшая) частота при n=1:
.
Вторая частота (при n=2):
и т. д.
Определим собственные
частоты стержня с массой на конце (рис.68,е).
Согласно (182) и (184), имеем
X=0 при
х=0;
при х=
.
Подставляя эти условия в решение (181), получим:
D=0; 
.
Следовательно, частотное уравнение при учёте (176) имеет вид
.
Здесь правая часть представляет собой отношение массы стержня к массе концевого груза.
Для решения полученного трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым способом.
При 
и 
значения наиболее важного низшего корня
будут соответственно
0.32 и 0.65 .
При малом
отношении 
решающее влияние
оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение
.
Для стержней
переменного сечения, т.е. при Аconst, из (173) и (174) получается
уравнение движения в виде
.
Это дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения собственных частот.
6.2.
Крутильные колебания валов
Крутильные колебания вала с непрерывно распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний стержней.
Рис. 69
Крутящий
момент М
в сечении с абсциссой х связан с углом поворота 
дифференциальной
зависимостью, аналогичной (173):
,
(186)
где Jp-полярный момент инерции поперечного сечения.
В сечении, расположенном на расстоянии dx, крутящий момент равен (рис.69,б):
.
Обозначая
через 
(где - плотность материала вала)
интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент
инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно
записать так:
,
или
подобно (174):
.
Подставляя сюда выражение (186), при Jp=const получим, аналогично (175):
, (187)
где
.
Общее решение уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид
,
где
(188)
Собственные частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными условиями.
В основных случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим
а)
закрепленный конец (=0): Х=0;
б) свободный конец (М=0): Х'=0;
в) упругозакрепленный левый конец: СоХ=GJpX' (Со-коэффициент жёсткости);
г) упругозакрепленный правый конец: -СоХ=GJpX';
д) диск на левом конце: 
(Jo-момент инерции
диска относительно оси стержня);
е) диск на
правом конце: 
.
Если вал
закреплён на левом конце (х=0), а правый конец (х=) свободен, то Х=0 при х=0 и Х'=0 при x=; собственные частоты определяются аналогично (185):
(n=1,2,…).
Если левый конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное уравнение:
.
Если оба
конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х=. В этом случае из (188) получим
; D=0,
т.е.
(n=1,2,…),
отсюда
находим собственные частоты:
.
Если левый
конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X'=0 при х=0 ; Jo
X=GJpX' при х=.
При помощи (188) находим
С=0; 
,
или
трансцендентное частотное уравнение:
.
6.3.Изгибные
колебания балок
6.3.1.Основное
уравнение
Из курса сопротивления материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок:
;
(189)
,
(190)
где
EJ - жёсткость при изгибе; y=y(x,
t) - прогиб; M=M(x , t) - изгибающий момент; q -
интенсивность распределённой нагрузки.
Объединяя (189) и (190), получим
. (191)
В задаче о свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые силы инерции:
,
где m - интенсивность массы балки (масса единицы длины), и уравнение (191) принимает вид
.
В
частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const,
m = const, имеем:
. (192)
Для решения уравнения (192) полагаем, как и выше,
y = X (x)× T (t).
(193)
Подставляя (193) в (192), приходим к уравнению:
.
Для
тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей
равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения:
;
(194)
.
(195)
Первое
уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой
.
Второе уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре постоянных и имеет вид
,
где
.
(196)
Удобно использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым:
, (197)
где
(198)
представляют
собой функции А.Н.Крылова.
Обратим внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой следующим образом:
(199)
Поэтому производные выражения (197) записываются в виде
(200)
В задачах
рассматриваемого класса число собственных частот бесконечно велико;
каждой из них отвечает своя функция времени Tn
и своя фундаментальная функция Xn. Общее решение
получится путём наложения частных решений вида (193)
. (201)
Для определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные условия.
6.3.2.
Граничные условия
Для каждого
конца стержня можно указать два граничных условия.
Свободный конец стержня (рис. 70,а). Нулю равны поперечная сила Q=EJX'''T и изгибающий момент M=EJX''T. Поэтому граничные условия имеют вид
X''=0;
X'''=0 .
(202)
Шарнирно-опёртый конец стержня (рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT и изгибающий момент M=EJX''T. Следовательно, граничные условия таковы:
X=0 ;
X''=0 .
(203)
Защемленный конец (рис.70,в). Нулю равны
прогиб y=XT и угол поворота 
. Граничные условия:
X=0;
X'=0 . (204)
На конце стержня имеется точечный груз массы
(рис.70,г). Его
сила инерции 
может быть при помощи
уравнения (194) записана так: 
; она должна быть равна поперечной силе Q=EJX'''T , поэтому граничные условия
принимают вид
; X''=0 . (205)
В первом условии знак плюс принимается в случае, когда
точечный груз связан с левым концом
стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие
вытекает из отсутствия изгибающего момента .
Упруго-опертый конец стержня (рис.70,д).
Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX'''T равна реакции
опоры 
(Co-коэффициент
жёсткости опоры).
Граничные условия:
X''=0 ; 
(206)
(знак
минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс,
когда она является правой).
6.3.3.
Частотное уравнение и собственные формы
Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C1, C2, C3, C4.
Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C1, C2, C3, C4, т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).
Проследим составление частотных уравнений на примерах.
Для балки с
шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия:
X=0; X''=0 при x=0 и x=. При помощи (197)-(200)
получим из первых двух условий: C1=C3=0. Два оставшихся
условия можно записать в виде
Чтобы C2 и C4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:
.
Таким образом, частотное уравнение имеет вид
.
Подставляя выражения T и U, получим
.
Так как 
, то окончательно частотное уравнение записывается так:
.
(207)
Корни этого уравнения:
, (n=1,2,3,...).
Учитывая (196), получим
.
(208)
Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношение между постоянными C2 и C4:
.
Следовательно, (197) приобретает вид
или
Согласно (207), имеем
,
(209)
где 
- новая постоянная,
значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение
начальные условия.
6.3.4.
Определение движения по начальным условиям
Если требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные скорости:
(210)
и использовать свойство ортогональности собственных форм:
.
Общее решение (201) запишем так:
.
(211)
Скорость определяется выражением
. (212)
Подставляя в
правые части уравнений (211) и (212) 
, а в левые части - предполагаемые известными начальные
смещения и скорости, получим
.
Умножая эти выражения
на 
и интегрируя по всей
длине, имеем
(213)
Бесконечные
суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213)
следуют формулы для постоянных 
и 
(214)
Теперь эти результаты нужно подставить в решение (211).
Снова
подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например,
в выражении собственной формы (209) принять вместо 
величину в 
раз большую, то (214) дадут результаты в 
раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия
компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными
собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений
(214) равнялись единице, что упрощает выражения и .
6.3.5.
Влияние постоянной продольной силы
Рассмотрим случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N, величина которой не меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается положительной)
.
Полагая 
и считая жёсткость
постоянной, получаем уравнение свободных колебаний
. (215)
Принимаем
по-прежнему частное решение в виде 
.
Тогда уравнение (215) распадается на два уравнения:
Первое уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом:
(216)
где K определяется формулой (196), а
.
(217)
Решение уравнения (216) имеет вид
где
Рассмотрим
случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце 
дают 
. Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим
Приравнивая
нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах 
и 
, приходим к уравнению
,
или
.
(218)
Корни этого частотного уравнения:
.
Следовательно, собственная частота определится из уравнения
.
Отсюда при учёте (217) находим
. (219)
При растяжении
частота увеличивается,
при сжатии 
уменьшается. Когда
сжимающая сила N
приближается к критическому значению, корень стремится к нулю.
6.3.6.
Влияние цепных усилий
Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.
Если в
мгновение t прогибы
балки определяются функцией 
, то удлинение оси можно найти по формуле
.
Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука
.
Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N (с учётом знака)
.
(220)
Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение упрощается при помощи подстановки
, (221)
где 
безразмерная функция времени, максимальное значение которой
можно положить равным любому числу, например, единице; 
амплитуда колебаний.
Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное
дифференциальное уравнение
,
(222)
коэффициенты
которого имеют следующие значения:
; 
.
Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.
Точное
решение для 
частоты поперечных
колебаний 
имеет вид
,
где 
частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных
усилий; 
поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды
колебаний 
к радиусу инерции
поперечного сечения ; величина 
приводится в
справочной литературе.
При
соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к
частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня
круглого сечения равна его диаметру, то 
, и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного
смещения опор.
Случай 
соответствует нулевому
значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе
мала - струна. При этом формула для 
даёт неопределённость.
Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны
.
Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.
При этом формула для частоты имеет вид
,
где N - постоянная растягивающая сила.
6.4. Влияние
вязкого трения
Ранее предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует. Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда связь напряжений с деформациями описывается соотношениями
; 
. (223)
Пусть стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде
. (224)
Из уравнения движения элемента стержня было получено соотношение (174)
.
Подставляя сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению
, (225)
которое отличается от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения.
Следуя методу Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде
, (226)
где 
функция только координаты x, а 
функция только времени t.
При этом каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма - также и начальным условиям. Подставляя (226) в (225) и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r, получим
, (227)
где штрихи обозначают дифференцирование по координате x, а точки - дифференцирование по времени t.
Разделив
(227) на произведение 
, приходим к равенству
,
(228)
левая часть,
которого может зависеть только от координаты x, а правая
- только от времени t.
Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были
равны одной и той же постоянной, которую обозначим через 
.
Из этого следуют уравнения
(229)
. (230)
Уравнение
(229) не зависит от коэффициента вязкости K и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой
системы, когда 
. Поэтому числа 
полностью совпадают с
найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина даёт лишь приближённое
значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не
зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний
совпадают с формами свободных незатухающих колебаний.
Теперь перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его решение имеет вид
, (231)
где
;
(232)
. (233)
Выражение (232) определяет темп затухания, а (233) - частоту колебаний.
Таким образом, полное решение уравнения задачи
.
(234)
Постоянные 
и 
всегда можно найти по
заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех
сечений стержня заданы следующим образом:
; 
,
(235)
где 
и 
- известные функции.
Тогда при 
, согласно (211) и (212), имеем
умножая обе
части этих равенств на 
и интегрируя в
пределах всей длины стержня, получим
(236)
Соответственно
условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в
правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко
найти и для любого номера r.
Рассматривая
(232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний 
, тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие
в (234), описывают затухающие колебания,
если 
есть действительное
число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных
значений r, пока
выполняется неравенство
.
(237)
При
достаточно больших значениях r неравенство (237)
нарушается и величина становится мнимой. При
этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать
затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение.
Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая
конечная часть суммы (234).
Все эти качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к случаям крутильных и изгибных колебаний.
6.5.
Колебания стержней переменного сечения
В тех случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения
. (238)
Уравнение крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением
, (239)
а
уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением
. (240)
Уравнения
(238)-(240) при помощи однотипных подстановок 
; 
; можно привести к
обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции 
(241)
(242)
(243)
и одному
однотипному уравнению для функции 
.
Уравнения (241)-(243) в отличие от уравнений, решённых выше, имеют переменные коэффициенты.
Замкнутую
форму решений можно получить лишь в отдельных случаях, когда переменные 
определены
специальными зависимостями. В общем случае неизбежен переход к приближённым
методам. В частности, возможен путь, основанный на сосредоточении
распределённой массы в ряде точек по длине стержня, после чего система
сохраняет лишь конечное число степеней свободы, равное числу точек приведения.
Используются также различные варианты вариационного метода и некоторые другие
приближённые методы, о которых речь пойдёт ниже.
6.6.
Колебания круговых колец
6.6.1.
Колебания в плоскости кольца
Рассмотрим
круговой брус малой кривизны постоянного сечения с радиусом R осевой линии
(рис.71,а). Будем считать груз нерастяжимым. Перемещение центра тяжести
поперечного сечения, зафиксированного угловой координатой , можно разложить на радиальный и окружной компоненты -
соответственно 
и 
. Из условия нерастяжимости оси
бруса следует, что перемещения и связаны зависимостью:
.
(244)
а б
Рис. 71
Угол поворота поперечного сечения бруса в процессе движения определяется формулой
. (245)
Изменение
кривизны бруса равно производной от 
по дуге:
. (246)
Изгибающий момент в поперечном сечении кольца:
. (247)
Теперь
составим уравнение движения элемента 
бруса (рис.71,б).
Помимо перечисленных сил, на элемент действует также сила инерции:
,
где 
масса единицы длины бруса.
Проектируя приложенные к элементу силы на радиус, получим
. (248)
Равенство нулю суммы проекций всех сил на направление касательной приводит к уравнению:
. (249)
Уравнение моментов имеет вид
.
(250)
Исключим из (248) и (249) нормальную силу N, а поперечную силу Q заменим её значением из (250):
.
(251)
Подставляя
сюда значение M из
(247), получим уравнение движения в перемещениях 
, и, наконец, исключая один из компонентов перемещения, с
помощью условия нерастяжимости (244) придём к
уравнению, в которое входит единственная переменная :
. (252)
Решение уравнения движения (252) будем искать в виде
; 
.
При этом для 
получается
обыкновенное дифференциальное уравнение
, (253)
.
Согласно
общим правилам решения дифференциальных уравнений, следует найти общее решение уравнения
(253), включающее шесть постоянных, и подчинить его граничным условиям. На
каждом конце бруса должны быть равны нулю либо компоненты перемещений 
, либо соответствующие им внутренние силы. Равенство нулю
определителя системы, выражающей граничные условия, приводит к частотному
уравнению.
Для замкнутого кольца граничные условия заменяются условиями периодичности, которые выполняются, если принять
; 
. (254)
Подставляя (254) в (253), устанавливаем, что последнее удовлетворяется тождественно, если
. (255)
Формула (255)
определяет частоты собственных колебаний кольца в своей плоскости. Значению 
соответствует нулевая
частота, так как при формулы (254)
описывают смещение кольца как жёсткого тела.
6.6.2.
Колебания, перпендикулярные плоскости кольца
В этом случае
положение поперечного сечения кольца в процессе движения характеризуется
смещением 
его центра тяжести из плоскости кольца и углом поворота
сечения х4 (рис.72,а). В поперечном сечении кольца возникают
изгибающие и крутящие моменты (рис.72,б), а также поперечная сила, перпендикулярная плоскости
кольца.
Рис. 72
Установим зависимость моментов от перемещений. Так как задача линейная, то рассмотрим сначала силовые факторы, связанные со смещением х3, а затем - с х4.
Если х3
постоянно по длине окружности, то кольцо смещается как жёсткое целое, и
внутренние силы не возникнут. Если х3 изменяется в зависимости от
центрального угла по линейному закону 
, то ось бруса превращается в винтовую линию, т.е. брус
деформируется подобно витку пружины при растяжении. Известно, что в этом случае
в поперечных сечениях возникает крутящий момент
,
где GJкр- крутильная жёсткость бруса.
Если при этом
отлична от нуля и вторая производная 
, то меняется кривизна бруса и возникает изгибающий момент
,
где J1 - момент инерции сечения относительно центральной оси, лежащей в плоскости кривизны.
Найдём силовые факторы, связанные с поворотом х4. Если х4 постоянно, то происходит осесимметричный изгиб кольца, причём в его сечениях возникает изгибающий момент
.
При переменном по длине повороте х4 соседние сечения поворачиваются друг относительно друга и возникает крутящий момент
.
Суммируя силовые факторы, связанные с перемещениями х3 и х4, ,получаем
(256)
Составим
уравнение движения элемента Rd бруса (рис.73).
Будем пренебрегать инерцией поворота элемента вокруг своей оси.
Рис. 73
Условие динамического равновесия в направлении нормали к плоскости кольца приводит к уравнению:
. (257)
Сумма моментов относительно нормали к оси элемента:
. (258)
Сумма моментов относительно касательной к оси элемента:
. (259)
Исключая поперечную силу из (257) и (258) и заменяя моменты в полученном уравнении и уравнении (259) их значениями (256), приходим к системе уравнений, в которую входят только перемещения х3 и х4:
(260)
Ограничиваясь исследованием собственных колебаний замкнутого кольца, решение уравнений (260) можно представить в виде
x3 =Acoskj×coswt , x4 =
Bcoskj×coswt .
(261)
Подставляя значения (261) в уравнение движения (260), получим
(262)
Из равенства нулю определителя этой системы получим частотное уравнение, корни которого - собственные частоты - таковы:
(263)
Наименьшая отличная от нуля частота соответствует k=2.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Теоретическая механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Строительная механика Теория машин и механизмов
